Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

2

．
（I）求证：PA₁⊥B₁C₁；
（II）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（III）求多面体PA₁B₁DAC₁的体积．

Answer 1

证明：（I）取B₁C₁的中点Q，连A₁Q，PQ
∵PB₁=PC₁，A₁B₁=A₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ
∵A₁Q∩PQ=Q
∴B₁C₁⊥平面A₁PQ，∵PA₁?平面A₁PQ
∴PA₁⊥B₁C₁；
（II）连BQ，在△PB₁C₁中，PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为中点，∴PQ=1
∵BB₁=AA₁=1
∴BB₁=PQ
在平面PBB₁CC₁中，BB₁⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁
∴BB₁∥PQ
∴四边形BB₁PQ为平行四边形
∴PB₁∥BQ
∵BQ∥DC₁
∴PB₁∥DC₁
∴PB₁∥平面AC₁D；
（III）三棱锥P-A₁B₁C₁的体积为

1

3

•

3

4

•22• 1 =

3

3

多面体ABD-A₁B₁C₁的体积为

3

4

•22• 1 -

1

3

•

3

8

•22• 1• 2=

2 3

3

．
∴多面体PA₁B₁DAC₁的体积为

3

3

+

2 3

3

=

3

．