Question

在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点C的坐标为（x，y），再由共线向量定理求解．（Ⅱ）对函数y=

1

4

x2 求导得y′=

1

2

x．设切点坐标，得切线方程．又设点P的坐标为（t，2t-5），由切线过点P，得E，F所在的直线方程，由韦达定理求得M坐标得证．（Ⅲ）先求得直线AB的方程为：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，

解答：解：（Ⅰ）如图，设点C的坐标为（x，y）（x≠0，y≠0），
则B(x，0)， 

AC

=(x，y)， 

BD

=(-x，4) ，
∵

AC

⊥

BD

，
∴x•（-x）+y•4=0，即y=

1

4

x2(x≠0)．
∴所求的轨迹T是除去顶点的抛物线（3分）
（Ⅱ）对函数y=

1

4

x2 求导得，y′=

1

2

x．
设切点坐标为(x0， 

1

4

x02)，则过该切点的切线的斜率是

1

2

x0，
该切线方程是y-

1

4

x02=

1

2

x0(x-x0)．
又设点P的坐标为（t，2t-5），
∵切线过点P，
∴有2t-5-

1

4

x02=

1

2

x0(t-x0)，
化简，得x₀²-2tx₀+8t-20=0．（6分）
设A、B两点的坐标分别为(x1， 

1

4

x12)、(x2， 

1

4

x22)，
则x₁、x₂为方程x²-2tx+8t-20=0的两根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴xM=

x1+x2

2

=t
因此，当t=0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行（9分）
（Ⅲ）∵yM=

1

2

(

1

4

x12+

1

4

x22)=

1

8

[(x1+x2)2-2x1x2]=

1

8

[4t2-2(8t-20)]=

1

2

t2-2t+5．
∴点M的坐标为(t，  

1

2

t2-2t+5)．
又∵kAB=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

1

4

(x1+x2)=

1

4

•2t=

1

2

t．
∴直线AB的方程为：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，
∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为（4，5）．（14分）

点评：本题主要考查向量法求轨迹方程，导数法求切线方程以及直线过定点问题．