Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值等于2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M(0，2)作直线与直线垂直，试判断直线与椭圆的位置关系5
(3)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1)  ;(2)相切；(3) 存在，.

解析试题分析：(1)通过椭圆性质列出的方程，其中离心率,分析图形知道当点P在短轴端点时，面积取得最大值，所以,椭圆中,从而建立关于的方程，解出;即得到椭圆的标准方程(2)列出过定点直线的方程，其与直线垂直，求出其斜率，联立椭圆方程，得出，写出关系；(3)对于存在性的问题，要先假设存在，先设存在这样的点，,结合图形知道要先讨论,当时，明显切线不垂直，当时，先设切线，与椭圆方程联立，利用，得出关于斜率的方程，利用两根之积公式，解出点坐标.即值.此题为较难题型，分类讨论时要全面.
试题解析：(1)因为点在椭圆上，所以
因此当时，面积最大，且最大值为
又离心率为即
由于，解得
所求椭圆方程为.
(2)由(1)知,
直线的斜率等于，直线的方程，
由消去，整理得，
直线与椭圆相切.
(3)假设直线上存在点满足题意，设，显然当时，从点所引的两条切线不垂直.
当时，设过点向椭圆所引的切线的斜率为，则的方程为
由消去，整理得：

所以，      *
设两条切线的斜率分别为，显然，是方程的两根，故：
解得：，点坐标为或
因此，直线上存在两点和满足题意.
考点：1.椭圆的性质与标准方程；2.直线垂直的判断；3.存在性问题的求解;4.直线与椭圆的位置关系的判断.