题目内容
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝
，
是棱CC1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面AB1C1；
（2）求二面角B－AB1－C1的余弦值．
证明:
(1)因为
，∴
．
∵三棱柱
为直三棱柱，∴
．
∵
，∴
平面
．
以
为坐标原点，
、
、
所在的直线
分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）
，
，
，
∵
，
∴
，
，即
，
．
∵
，∴
平面
．
（Ⅱ）设
是平面
的法向量，由
得
取
，则
是平面的一个法向量．
又是平面的一个法向量，
且
与二面角
的大小相等．
由
故二面角的余弦值为
．
练习册系列答案
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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA1、CC1的中点，P是CD上的点．
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如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．