Question

设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．
（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若?x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以h（x）的定义域为（0，+∞）
所以
从而得：
①当x≥1时，由h'（x）＞0得，即2x²-x+1＞0，其判别式△＞0恒成立，
故区间[1，+∞）是函数h（x）的单调增区间；
②当0＜x＜1时，由h'（x）＞0得得即0＜x＜1，
故区间（0，1）也是函数h（x）的单调增区间．
综上所述，函数h（x）的单调增区间是（0，+∞）．
（2）由题意得：x（x-1）+m＞lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，?x∈[1，+∞）恒成立，
设F（x）=-x²+x+lnx，x∈[1，+∞），则
，
显然，当x∈[1，+∞）时，F（x）≤0恒成立，
所以，F（x）在区间[1，+∞）上是单调减函数，
所以[F（x）]_max=F（1）=0，
所以m的取值范围是（0，+∞）．
分析：（1）利用绝对值的定义分段讨论去绝对值，将绝对值函数转化为分段函数，分段求出函数的导函数，分段令相应的导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间．
（2）分离参数m，构造新函数，通过导数求出新函数的最大值，即得到参数m的范围．
点评：求分段函数的问题，应该分段求，然后将求出的各段并起来即为整个函数的性质；解决不等式恒成立求最值的问题，一般分离参数构造新函数，转化为求新函数的最值．