Question

已知f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[

1

2

，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[-2，0]
• C、[0，2]
• D、（-2，2）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是偶函数，，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数在对称区间上单调性相反，易得f（x）在（-∞，0）上为减函数，又由若x∈[

1

2

，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，结合函数恒成立的条件，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数
当x∈[

1

2

，1]时
x-2∈[-

3

2

，-1]
故f（x-2）≥f（1）
若x∈[

1

2

，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
则当x∈[

1

2

，1]时，|ax+1|≤1恒成立
解得-2≤a≤0
故选B

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反，证得f（x）在（-∞，0）上为减函数，进而给出x∈[

1

2

，1]时f（x-2）的最小值，是解答本题的关键．