Question

已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1，1]，m＋n≠0时有

(1)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并证明你的结论；

(2)解不等式：；

(3)若f(x)≤对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)任取－1≤x1＜x2≤1，则 　　f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝ 　　∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1＋(－x2)≠0， 　　由已知＞0，又x1－x2＜0， 　　∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在[－1，1]上为增函数． 　　(2)∵f(x)在[－1，1]上为增函数，故有 　　 　　(3)由(1)可知：f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1，1]， 　　恒有f(x)≤1． 　　所以要使f(x)≤，对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立， 　　即要≥1成立，故≥0成立． 　　记g(a)＝对a∈[－1，1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1，1]上的最小值大于等于零． 　　故 　　解得：t≤－2或t＝0．