Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xlna(a＞0，a≠1)．

(Ⅰ)当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(Ⅱ)若函数y＝|f(x)―t―1|有三个零点，求t的值；

(Ⅲ)若存在x₁，x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，试求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)　　3分 　　由于，故当时，，所以， 　　故函数在上单调递增　　5分 　　(Ⅱ)当时，因为，且在R上单调递增， 　　故有唯一解　　7分 　　所以的变化情况如下表所示： 　　又函数有三个零点，所以方程有三个根， 　　而，所以，解得　　11分 　　(Ⅲ)因为存在，使得，所以当时，　　12分 　　由(Ⅱ)知，在上递减，在上递增， 　　所以当时，， 　　而， 　　记，因为(当时取等号)， 　　所以在上单调递增，而， 　　所以当时，；当时，， 　　也就是当时，；当时，　　14分 　　①当时，由， 　　②当时，由， 　　综上知，所求的取值范围为　　16分