Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF、AF，由中位线得性质和AB∥CD及AB=1证出四边形ABEF为平行四边形，则BE∥AF，根据线面平行的判定得BE∥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD证出PD⊥AD，利用三条线相互垂直关系，建立直角坐标系，求出

BC

•

DB

=0，即BC⊥DB，再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，即证BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）建立的坐标系和结论，求出平面PBD的法向量

BC

，利用

PQ

=λ

PC

求出Q的坐标，再利用垂直关系求平面QBD的法向量

n

的坐标，由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值，化简后求出λ∈（0，1）的值．

解答：解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD．（5分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)，
∴

BC

•

DB

=0，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为

BC

=(-1，1，0)，（10分）
∵

PC

=(0，2，-1)，

PQ

=λ

PC

，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1-λ），（11分）
设平面QBD的法向量为

n

=（a，b，c），

DB

=(1，1，0)，

DQ

=(0，2λ，1-λ)，
由n•

DB

=0，n•

DQ

=0，得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，
∴n=(-1，1，

2λ

λ-1

)，（12分）
∴cos45°=

n• BC

|n|  | BC |

=

2

2 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，（13分）
因λ∈（0，1），解得λ=

2

-1．（14分）

点评：本题用了几何法和向量法进行证明平行及垂直关系、求值，有中点时通常构造中位线证明线线平行，根据线面平行的判定定理转化到线面平行；向量法主要利用数量积为零证明垂直，对待二面角、线面角问题用向量法要简单些，建立坐标系要利用几何体中的垂直条件．