Question

【题目】已知函数，且在和处取得极值．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】试题分析：（1）由f（x）=ax3+bx2-2x在x=1或2处取得极值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；

（2）曲线y=g（x）与x轴有两个交点，转化成g（x）=0有两个不同的实数解，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有g（x）极大值=0或g（x）极小值=0即可求出t的值．

试题解析：（1），

因为在和处取得极值，

所以和是的两个根，

则，解得，

经检验符合已知条件，故；

（2）由题意知，

令得， 或，

随着变化情况如下表所示：

		1		2
	-	0	+	0	-
	递减	极小值	递增	极大值	递减

由上表可知，

又取足够大的正数时， ，

取足够小的负数时， ，

因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，

得或，

∴或，

即存在，且或时，曲线与轴有两个交点．