Question

有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？

Answer 1

分析：以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，求出由P地到A、B两地购物总费用，可求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，进而根据P的位置，即可得出结论．

解答：解：如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
∵|AB|=10，∴A（-5，0），B（5，0）．
设P（x，y），P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）．
当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
得3a

(x+5)2+y2

=a

(x-5)2+y2

，化简整理得(x+

25

4

)2+y2=(

15

4

)2，
（1）当P点在以（-

25

4

，0）为圆心、

15

4

为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等．
（2）当P点在上述圆内时，

∵(x+ 25 4 )2+y2＜( 15 4 )2

，
∴[9(x+5)2+9y2]-[(x-5)2+y2]=8[(x+

25

4

)2+y2-(

15

4

)2]＜0.
∴3a

(x+5)2+y2

＜a

(x-5)2+y2

，故此时到A地购物合算．
（3）同理，当P点在上述圆外时，得3a

(x+5)2+y2

＞a

(x-5)2+y2

，故此时到B地购物合算．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．