Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，且满足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（　　）

A．-2

B．-1

C．1

D．2

Answer 1

分析：确定函数是偶函数且为周期函数，从而可得f（1）+f（2）+f（3）=f（-1）+f（-1）+f（0）=0，利用周期性，即可求得结论．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，
∴f（x）=-f（-x-

3

2

）
∵f(x)=-f(x+

3

2

)
∴f(x+

3

2

)=f（-x-

3

2

）
∴f（x）=f（-x），∴函数f（x）为定义在R上的偶函数
∵f(x)=-f(x+

3

2

)，∴f(x+3)=f[(x+

3

2

)+

3

2

]=-f(x+

3

2

)=f（x）
∴f（x）是一个以3为周期的周期函数
∴f（1）=f（-1），f（2）=f（2-3）=f（-1）
∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）+f（2）+f（3）=f（-1）+f（-1）+f（0）=0
∵2012=3×670+2
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=f（1）+f（2）=2
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性，对称性、周期性，考查学生的计算能力，确定函数是偶函数且为周期函数是解题的关键．