Question

【题目】若函数满足：对于任意正数、，都有，，且，则称函数为“函数”.

（1）试判断函数与是否是“函数”；

（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；

（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用定义结合作差法来判断出函数与是否是“函数”；

（2）根据定义可知，即对切正实数恒成立，可得出，由可得出，由此可得出实数的取值范围；

（3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数和正实数，都有，然后利用定义证明出对任意的，，，利用不等式的基本性质即可证明出结论.

（1）对于函数，

当、时，，

即.

对于函数，

当、时，，

因此，函数是“函数”，函数不是“函数”；

（2）由于函数是“函数”，

当时，则，，

即，，

由题意知，不等式对任意的正实数恒成立，则，得.

当、时，由，

得，

整理得，

即，

即，即，

、时，，，可得出，

则不等式对一切正实数、恒成立，，解得.

因此，实数的取值范围是；

（3）由于函数是“函数”，

可知对于任意的正实数、，都有，，且，

令，得，则.

故对于任意的正整数和正实数，，

对于任意的，可得，

又，所以，，

同理，

因此，.