Question

【题目】已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．

（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；

（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.

（Ⅰ）抛物线：一点

，即抛物线的方程为，

又在椭圆：上

，结合知（负舍）， ，

椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，

①当时，，直线的方程，，故

②当时，直线的方程为，由得.

由弦长公式知 .

同理可得.

.

令，则，当时，，

综上所述：四边形面积的最小值为8.