Question

已知不等式（x-1）²≤a²，（a＞0）的解集为A，函数f(x)=lg

x-2

x+2

的定义域为B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明函数f(x)=lg

x-2

x+2

的图象关于原点对称．

Answer 1

（Ⅰ）由（x-1）²≤a²，（a＞0），得1-a≤x≤1+a，A=x|1-a≤x≤1+a，
由

x-2

x+2

＞0得x＜-2或x＞2，B=x|x＜-2或x＞2，
∵A∩B=φ，∴-2≤1-a且1+a≤2（a＞0），∴0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：∵f(x)=lg

x-2

x+2

（x＜-2或x＞2），
∴f(x)+f(-x)=lg

x-2

x+2

+lg

-x-2

-x+2

=lg(

x-2

x+2

×

x+2

x-2

)=lg1=0
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称．