题目内容

已知f（x）=（x-1）²-4，等差数列{a_n}中， $数学公式$ ．
求：
（1）x的值；
（2）数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）a₂+a₅+a₈+…+a₂₆．

解：依题意，a₁=（x-2）²-4=x²-4x，a₃=（x-1）²-4=x²-2x-3，
∵{a_n}为等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，即-3=2x²-6x-3，
∴x=3或x=0；
（2）若x=0，则a₁=0，a₂=- $\text{[math]}$ ，
∴公差d=- $\text{[math]}$ ，
∴a_n=（n-1）（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ （n-1）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ n；
若x=3，同理可求，a_n= $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$ ；
（3）若a_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ n，
则a₂=- $\text{[math]}$ ，a₂₆=- $\text{[math]}$ ，
∴a₂+a₅+a₈+…+a₂₆= $\text{[math]}$ ×9=- $\text{[math]}$ ；
若a_n= $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$ ，同理可求，a₂+a₅+a₈+…+a₂₆= $\text{[math]}$ ×9= $\text{[math]}$ ×9= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意，由2a₂=a₁+a₃可求得x的值；
（2）由（1）可求得该等差数列的公差，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）利用等差数列的求和公式分类求和即可．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的通项公式与数列求和，考查分析与运算能力，属于难题．

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