Question

已知函数f（x）=C_nx^2n-1-C_n¹x²ⁿ+C_n¹x²ⁿ⁺¹-…+C_n^r（-1）^rx^2n-1+r+…+C_nⁿx^3n-1，其中n（n∈N₊）．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设函数f（x）取得极大值时x=a_n，令b_n=2-3a_n，S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，若p≤S_n＜q对一切n∈N₊恒成立，求实数p和q的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二项式定理化简f（x），求出导函数，令导函数为0求根，判断根两侧的导函数符号，求出极值．
（2）利用数列的求和方法：裂项法求出S_n，求出S_n的范围即为p，q值．
解答：解：（1）f（x）=x^2n-1[C_n-C_n¹x+C_n²x²-+C_n^r（-1）^rx^r+C_nⁿxⁿ]=x^2n-1（1-x）ⁿ，
f'（x）=（2n-1）x^2n-2（1-x）ⁿ-x^2n-1•n（1-x）^n-1=x^2n-2（1-x）^n-1[2n-1-（3n-1）x]．
令f'（x）=0，从而x₁＜x₂＜x₃．当n为偶数时f（x）的增减如下表

所以当x=时，y_极大=；当x=1时，y_极小=0．
当n为奇数时f（x）的增减如下表

所以当x=时，y_极大=．
（2）由（1）知f（x）在x=时取得最大值．所以a_n=，b_n=2-3a_n=，=．，∴，即；
所以实数p和q的取值范围分别是，．
点评：本题考查，二项式定理；利用导数求函数的单调性，极值；利用裂项法求数列的和；求函数的值域等