Question

已知函数

（1）　若函数是单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，两曲线有公共点P，设曲线在P处的切线分别为，若切线与轴围成一个等腰三角形，求P点坐标和的值；

（3）当时，讨论关于的方程的根的个数

Answer 1

（1）    （2） 

（3）即时，函数有两个零点即方程有两个根；

即时，函数有一个零点即方程有一个根；

即时，函数没有零点即方程没有根

解析:

  （1）

依题，在上恒成立，

法1：，又（当且仅当，即时取等）∴．

法2： ，令，则在上恒成立，

由二次函数图象得，；，

综合、得．…………………………………………………………4分

（2）时，，设，的倾斜角分别为，则，由于，则均为锐角，依题，有以下两种情况：

时，，

此时，；

时，，

此时，．……………………………………………………9分

（3）时，令

，

时，；时，

∴在上递增，在上递减，∴，

又时，；时，

即时，函数有两个零点即方程有两个根；

即时，函数有一个零点即方程有一个根；

即时，函数没有零点即方程没有根

…………………………………………………………14分