Question

已知函数f（x）=x³-3ax（x∈R）．
（I）当a=1时，求f（x）的极小值；
（II）若对于任意的x∈[0，+∞），总有f（x）≥3ax²，求a的取值范围；
（III）设g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（I）求导函数，确定函数的单调性，即可求得f（x）的极小值；
（II）分类讨论，利用分离参数法，求出函数的最值，即可求a的取值范围；
（III）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．对a分类讨论，确定函数的解析式与单调性，即可求得最值．

解答：解：（I）当a=1时，f′（x）=3x²-3
令f′（x）=0，可得x=±1
∴当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]、[1，+∞）上单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=-2；
（II）由已知x³-3ax≥3ax²，x=0时显然成立；
x≠0时，有3a≤

x2

x+1

对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
当x∈（0，+∞）时，

x2

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-2∈[0，+∞）
∴3a≤0
∴a的取值范围是（-∞，0]；
（III）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．
（1）当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a；
（2）当a＞0时，f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

）
①当

a

≥1，即a≥1时，g（x）=-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1；
②当0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增
1°当f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，g（x）=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]上单调递减
∴F（a）=-f（

a

）=2a

a

；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

时，
若-f（

a

）≤f（1）=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F（a）=f（1）=1-3a；
若-f（

a

）＞f（1）=1-3a，即

1

4

＜a≤

1

3

时，F（a）=-f（

a

）=2a

a

综上，F（a）=

1-3a，a≤ 1 4 2a a ， 1 4 ＜a＜1 3a-1，a≥1

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，难度较大．