Question

求函数f（x）=lgsinx+

2 cosx-1

的定义域．

Answer 1

分析：由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，然后分别求解两个三角不等式，其交集即为函数的定义域．

解答：解：法一、要使原函数有意义，则

sinx＞0            ① 2 cosx-1≥0②

，
解①得：2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z），
解②得：cosx≥

2

2

，即2kπ≤x≤2kπ+

π

4

，或-

π

4

+2kπ≤x≤2kπ（k∈Z）．
取交集得：2kπ＜x≤2kπ+

π

4

（k∈Z）．
所以，函数f（x）的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ+

π

4

，k∈Z}．
法二、要使原函数有意义，则

sinx＞0            ① 2 cosx-1≥0②

，
先在[0，2π）内考虑x的取值，由①得x∈（0，π），
由②得x∈[0，

π

4

]∪[

7

4

π，2π]．  
取交集得x∈（0，

π

4

]．
由f(2π+x)=lgsin(2π+x)+

2 cos(2π+x)-1

=lgsinx+

2 cosx-1

=f（x）．
所以函数f（x）的最小正周期为2π，
所以在实数集内满足不等式组的x的取值集合为∈（2kπ，2kπ+

π

4

]（k∈Z）．
所以，函数f（x）的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ+

π

4

，k∈Z}．

点评：本题考查了函数定义域及其求法，考查了三角不等式的求解方法，训练了交集及其运算，属基础题型．