Question

设函数f（x）=lg（

2

x+1

-1）的定义域为集合A，函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B．
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是奇函数，得f（

1

2013

）与f（-

1

2013

）互为相反数，即得所求函数值的和；
（2）由对数的真数大于0，得集合A=（-1，1），再根据二次函数在闭区间上的值域求法，得集合B=[-3+a，1+a]．A∩B=∅得区间A在B的左边或右边，没有公共元素，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（

2

x+1

-1）=lg

1-x

1+x

∴函数的定义域为{x|

1-x

1+x

＞0}=（-1，1），关于原点对称
∵f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg（

1-x

1+x

）^-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数，得f（-

1

2013

）=-f（

1

2013

），
因此f（

1

2013

）+f（-

1

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）=0；
（2）由（1），f（x）的定义域A=（-1，1），
∵函数g（x）=-x²+2x+a在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，3]上是减函数
∴g（x）的最大值为g（1）=1+a，最小值为g（3）=-3+a
函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域B=[-3+a，1+a]
∵A∩B=∅，
∴1+a≤-1或-3+a≥1，得a≤-2或a≥4
即实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[4，+∞）

点评：本题给出真数为分数的对数型函数，求函数的定义域和特殊的函数值，着重考查了基本初等函数的定义域、值域，以及集合的基本运算等知识，属于中档题．