Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面ABCD上确定一点G，使G到平面D₁EF距离为．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，得用向量法能求出异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值．
（2）由D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），知=（3，3，-2），=（2，4，-2），从而求出平面D₁EF垂直=（1，1，3），再由G到平面D₁EF距离为，能够在面ABCD上确定一点G．
解答：解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB=FB=1，
∴D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），C₁（0，4，2）．（1分）
∴=（-3，1，2），=（-2，-4，2）（3分）
∴异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值==||=．
（2）∵D₁（0，0，2），E（3，3，0），F（2，4，0），
∴=（3，3，-2），=（2，4，-2），
设向量=（x，y，z）与平面D₁EF垂直，则有，=0，
∴，解得=（1，1，3），
设在面ABCD上确定一点G（a，b，0），则=（a-3，b-3，0），
∵G到平面D₁EF距离为，
∴=，
∴a+b-6=1，即b=7-a．
故在面ABCD上确定一点G（a，7-a，0），使G到平面D₁EF距离为．
点评：本题考查异面直线所成的角的余弦值求法，考查点到平面的距离的求法及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．