Question

19．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有根之和为（　　）

• A． 3^-a-1
• B． 1-3^-a
• C． 3^a-1
• D． 1-3^a

Answer 1

分析 利用奇函数得出当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x₁+x₂，x₄+x₅的值，关键运用对数求解x₃=1-3^a，整体求解即可．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∵当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，
得出x＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（1-x），x∈（-2，0）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}+4x+7，x∈（-∞，-2]}\end{array}\right.$．
画出图象得出：
如图从左向右零点为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
根据对称性得出：x₁+x₂=-4×2=-8，
x₄+x₅=2×4=8，-$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（-x₃+1）=a，
x₃=1-3^a，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-8+1-3^a+8=1-3^a，
故选：D．

点评 本题综合考查函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．