Question

设函数(x∈R)，其中a∈R．

(Ⅰ)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；

(Ⅲ)当a＞3，时，若不等式对任意的x∈R恒成立，求k的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：当时，，得，且 　　，． 　　所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 　　． 　　(Ⅱ)解： 　　． 　　令，解得或． 　　由于，以下分两种情况讨论． 　　(1)若，当变化时，的正负如下表： 　　因此，函数在处取得极小值，且； 　　函数在处取得极大值，且． 　　(2)若，当变化时，的正负如下表： 　　因此，函数在处取得极小值，且； 　　函数在处取得极大值，且． 　　(Ⅲ)证明：由，得，当时， 　　，． 　　由(Ⅱ)知，在上是减函数，要使， 　　只要 　　即　　① 　　设，则函数在上的最大值为． 　　要使①式恒成立，必须，即或． 　　所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．