题目内容
已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为________．
16
分析：根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=
a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2-c＜0，再由根与系数的关系解方程x1-x2|=8，即可得到实数c=16．
解答：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a2-4b=0，即b=a2
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b-c＜0，即x2+ax+a2-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x2+ax+a2-c的两根分别为x1=m，x2=m+8，
∴
，可得|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=64，
即（-a）2-4（a2-c）=64，解之即可得到c=16
故答案为：16
点评：本题给出二次函数的值域，讨论关于x的不等式f（x）＜c的解集问题，着重考查了二次函数的值域、一元二次不等式解法和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．
分析：根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=
a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2-c＜0，再由根与系数的关系解方程x1-x2|=8，即可得到实数c=16．解答：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a2-4b=0，即b=
a2又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b-c＜0，即x2+ax+
a2-c＜0，∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x2+ax+
a2-c的两根分别为x1=m，x2=m+8，∴
，可得|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=64，即（-a）2-4（
a2-c）=64，解之即可得到c=16故答案为：16
点评：本题给出二次函数的值域，讨论关于x的不等式f（x）＜c的解集问题，着重考查了二次函数的值域、一元二次不等式解法和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|