题目内容

已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=(an+)，bn=

(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；

(Ⅱ)令cn=，求数列{cn}的通项公式；

(Ⅲ)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+.

解:(Ⅰ)∵b1==3∴bn+1=

∴bn==.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=∴

∴Cn=+1 

(Ⅲ)∴当n≥2时,an+1-1=≤(an-1)

(当且仅当n=2时取等号)且a2=(a1+)=a3-1≤(a2-1)

故a4-1≤(a3-1)…an-1≤(an-1-1)

以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤[Sn-1-a1-(n-2)]

∴10Sn--10(n-2)≤Sn-an-2-n+2∴9Sn≤+9n-

∴Sn≤+n-＜+n-=+n＜+n

∴Sn＜+n(n≥2)得证

练习册系列答案
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已知数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知S100=41，T100=49，记Cn=anTn+bnSn-anbn（n∈N*），那么数列{Cn}的前100项和
100i=1
Ci=
 
．
已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，bn=
3+(-1)n-1
2
，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3的值
（Ⅱ）设cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明{cn}是等比数列
（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明
S1
a1
+
S2
a2
+…+
S2n-1
a2n-1
+
S2n
a2n
≤n-
1
3
（n∈N*）
已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=
3+(-1)n
2
，n∈N*，且a1=2，a2=4．
（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）设cn=a2n-1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列；
（Ⅲ）设Sk=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：
4n
k=1
Sk
ak
＜
7
6
(n∈N*)．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
an，bn=
an+1
an-1
则数列{bn}的通项公式为
 
．
已知数列{an}与{bn}有如下关系：a1=2，an+1=
1
2
（an+
1
an
），bn=
an+1
an-1
．
（1）求数列{bn}的通项公式．
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn＜n+
4
3
．

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