Question

已知函数f(x)=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≠0，函数g(x)=

1

3

ax3-a2x，x∈[0，2]．若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于求出x的值，然后由x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；
（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0，得到区间[0，2]是A的子集，求出g（x）的导函数，分a小于0和a大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意a的取值范围．

解答：解：（1）对函数f（x）求导，f′(x)=

4

3

•

1-x2

(x2+1)2

．
令f'（x）=0得x=1或x=-1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减．
又f(0)=0，f(1)=

2

3

，f(2)=

8

15

，
所以当x∈[0，2]，f（x）的值域是[0，

2

3

]；
（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A．
∵对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，
∴[0，

2

3

]⊆A．
对函数g（x）求导，g'（x）=ax²-a²．
 ①当a＜0时，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，2）上单调递减．
∵g(0)=0，g(2)=

8

3

a-2a2＜0，
∴当x∈[0，2]时，不满足[0，

2

3

]⊆A；
 ②当a＞0时，g′(x)=a(x-

a

)(x+

a

)．
令g'（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍去）．
（i）当x∈[0，2]，0＜

a

＜2时，列表：

∵g(0)=0，g(

a

)＜0，
又∵[0，

2

3

]⊆A，∴g(2)=

8

3

a-2a2≥

2

3

，解得

1

3

≤a≤1．
（ii）当x∈（0，2），

a

≥2时，g'（x）＜0，∴函数在（0，2）上单调递减，
∵g（0）=0，∴g(2)=

8

3

a-2a2＜0∴当x∈[0，2]时，不满足[0，

2

3

]⊆A．
综上，实数a的取值范围是[

1

3

，1]．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，灵活运用分类讨论的数学思想，会利用导数求函数的值域，是一道综合题．