Question

某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A、B两种设备每月有效使用台时数为a（400≤a≤500）．求生产收入最大值的范围．

Answer 1

分析：先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值的范围，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．注意：最后要将所求最优解还原为实际问题．

解答：解：设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，
约束条件是

x+2y≤a 2x+y≤a x≥0 y≥0

目标函数是z=3x+2y，
由约束条件画出可行域，如图．将z=3x+2y变形为y=-

3

2

x+

z

2

，
这是斜率为-

3

2

，随z变化的一簇直线．

z

2

是直线在y轴上的截距，当

z

2

最大时z最大，
当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值．
由

x+2y=a 2x+y=a

解得

x= a 3 y= a 3

在这个问题中，使z=3x+2y取得最大值的（x，y）是两直线2x+y=a与x+2y=a的交点（

a

3

，

a

3

）．
∴z=3•

a

3

+2•

a

3

=

5

3

a．
又∵400≤a≤500
，∴

2000

3

≤z≤

2500

3

．
故月生产收入最大值的范围是[

2000

3

，

2500

3

]．

点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．