Question

已知椭圆C的一个焦点为F（0，1），过点F且垂直于长轴的直线被椭圆C截得的弦长为

2

；P，Q，M，N为椭圆C上的四个点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若

PF

∥

FQ

，

MF

∥

FN

且

PF

•

FM

=0，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据一个焦点为F（0，1），设出椭圆方程，再利用过点F且垂直于长轴的直线被椭圆C截得的弦长为

2

，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出|PQ|，|MN|，表示出面积，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题圆C的一个焦点为F（0，1）知c=1
故可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
过焦点F（0，1）且与长轴垂直的直线方程为y=c，设此直线与椭圆交于A，B两点
则|AB|=

2b2

a

，又|AB|=

2

，所以

2b2

a

=

2

，又b²=a²-c²=a²-1，
联立求得b²=1，a²=2，故椭圆方程为x2+

y2

2

=1
（Ⅱ）由

PF

∥

FQ

，

MF

∥

FN

知，点P，Q，F共线，点M，N，F共线，
即直线PQ，MN经过椭圆焦点F．又

PF

•

FM

=0知，PQ⊥MN
（i）当PQ斜率为零或不存在时，S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b2=2
（ii）当直线PQ存在且不为零时，可设斜率为k，则由PQ⊥MN知，MN的斜率为-

1

k

所以：直线PQ方程为：y=kx+1．直线MN方程为：y=-

1

k

x+1
将直线PQ方程y=kx+1代入椭圆方程2x²+y²-2=0，消去y并化简整理可得（2+k²）x²+2kx-1=0，
设P，Q坐标为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

2k

2+k2

，x1x2=-

1

2+k2

…①
从而|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，将①代入化简得|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

，
将|PQ|中k换成-

1

k

可得|MN|=

2 2 (k2+1)

2k2+1

所以S=

1

2

|PQ||MN|=

4(k2+1)2

(2k2+1)(k2+2)

=

4k4+8k2+4

2k4+5k2+2

=

4k4+10k2+4-2k2

2k4+5k2+2

令f(k)=

4k4+10k2+4-2k2

2k4+5k2+2

=2-

2k2

2k4+5k2+2

=2-

2

2(k2+ 1 k2 )+5

因为k2+

1

k2

≥2，所以2(k2+

1

k2

)+5≥9，故0＜

2

2(k2+ 1 k2 )+5

≤

2

9

所以

16

9

≤2-

2

2(k2+ 1 k2 )+5

＜2，当且仅当k2=

1

k2

即k=±1时，S=

16

9

综上（i）（ii）可知

16

9

≤S≤2，即四边形PMQN的最大面积为2，最小面积为

16

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．