Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D是AA₁的中点．
（1）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）求CD与平面BC₁D所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）先证明面ABC⊥面ACC₁A₁，由于AC⊥BC，可得BC⊥面ACC₁A₁，所以BC⊥C₁D，再证明CD⊥C₁D，可得C₁D?面BC₁D，从而可得面BCD⊥面BC₁D；
（2）过点C作CH⊥BD交BD于H，可证∠CDH的大小就是CD与平面BC₁D所成角的大小，在△CDC₁中，可求CD与平面BC₁D所成角的正切值．

解答：（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，∴面ABC⊥面ACC₁A₁
由于AC⊥BC，AC=面ABC∩面ACC₁A₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
又∵在矩形ACC₁A₁中，AA₁=2AC，点D是AA₁的中点，∴CD⊥C₁D．
∵CD∩BC=C，
∴C₁D⊥面BCD
∵C₁D?面BC₁D，
∴面BCD⊥面BC₁D--------（7分）
（2）解：过点C作CH⊥BD交BD于H，

∵平面BC₁D⊥平面BCD，面BC₁D∩面BCD=BD，∴CH⊥面BC₁D．
∴∠CDH就是CD与平面BC₁D所成角．--（11分）
在△CDC₁中，BC=1，CD=

2

，
∴tan∠CDH=

1

2

=

2

2

．-------------（14分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．