Question

若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是

π

3

，l与a、l与b所成的角都是α，则α的取值范围是（　　）

• A．[

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ]
• B．[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• C．[

  π

  3

  ，

  5π

  6

  ]
• D．[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：在空间选取一点O，过O分别作a、b的平行线a'、b'，并设a'、b'确定的平面为β，再将直线l平移至l'，使l'经过点O，根据直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的定义，通过讨论可得直线l与a、b所成的角范围是[

π

6

，

π

2

]．

解答：解：在空间选取一点O，过O作a'∥a，b'∥b，设直线a'、b'确定的平面为β
将直线l平移至l'，使l'经过点O
当直线l'⊥β时，l'与a'、b'所成的角都是直角，
此时所成的角达到最大值；
当直线l'恰好在平面β内，且平分a'、b'所成的锐角时，
l'与a'、b'所成的角都是

π

6

，此时所成的角达到最小值
∴l'与a'、b'所成的角范围是[

π

6

，

π

2

]
∵l'∥l，a'∥a，b'∥b，∴l'与a'、b'所成的角等于l与a、b所成的角
即l与a、b所成的角范围是[

π

6

，

π

2

]．
故选D

点评：本题给出两条异面直线的所成角，要我们找出与它们成等角的第三条直线所成角的范围，着重考查了线面垂直、直线与平面所成角和异面直线所成角等知识，属于基础题．