Question

      (本题满分12分）如图1,E, F, G分别是边长为2的正方形ABCD所在边的中点，沿EF将CEF截去后，又沿EG将多边形折起，使得平面DGEF丄平面ABEG得到如图2所示的多面体.

(1) 求证：FG丄平面BEF₁

(2) 求二面角A-BF-E的大小；

(3) 求多面体ADG－BFE的体积

Answer 1

解 （1）证明  ∵ 面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，

∴ BE⊥面DGEF，得 BE⊥FG．

又 ∵ GF² + EF² =（）² +（）² = 4 = EG²，

∴ ∠EFG = 90°，有 EF⊥FG．

而 BE∩EF = E，因此 FG⊥平面BEF．     4分

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），于是，=(1,－1,－1)，= (1,1,－1)，= (0,1,－1)．

设相交两向量、的法向量为n₁ = (x₁, y₁, z₁)，

则由n₁⊥，得 x₁－y₁－z₁ = 0；由n₁⊥，得 x₁ + y₁－z₁ = 0．

解得 y₁ = 0，x₁ = z₁，因此令 n₁ =（1，0，1）．

事实上，由（1）知，平面BEF的一个法向量为n₂ =（0，1，1）．

所以 cos< n₁, n₂> =，两法向量所成的角为，

从而图2中二面角A－BF－E大小为．……………… 8分

另法  如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角H－

BF－E的大小为，进而求得二面角A－BF－E的大小为．

（3）连结BD、BG将多面体ADG－BFE分割成一个四棱

锥B－EFDG和一个三棱锥D－ABG，则多面体的体积

= V_B－EFDG + V_D－ABG．．      ……………… 12分

另法  补成直三棱柱或过F作ADG的平行截面FKM，则

多面体的体积 = V_柱－V_F－BEH = 或 = V_柱 + V_F－BEMK =．