题目内容

某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学．
（Ⅰ）求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；
（Ⅱ）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如右图：
（ⅰ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160，170）的中点值为165）作为代表．据此，计算这100名学生身高数据的期望μ及标准差φ（精确到0.1）；
（ⅱ）若总体服从正态分布，以样本估计总体，据此，估计该年级身高在（158.6，181.4）范围中的学生的人数．
（Ⅲ）如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表
身高达标 身高不达标 总计
积极参加体育锻炼 40
不积极参加体育锻炼 15
总计 100
（ⅰ）完成上表；
（ⅱ）请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？
参考公式：K2=
π(ac-bd)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，参考数据：
P（K2≥k） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
分析：（1）要求甲、乙两同学都被抽到的概率，我们要根据从学生1000名，抽查100名同学，先计算出甲被抽中的概率，及乙被抽中的概率，然后再根据分步原理求出结果．
（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为
1
10
，
且事件“甲同学被抽到”与事件“乙同学被抽到”相互独立，
故甲、乙两工人都被抽到的概率P=
1
10
×
1
10
=
1
100

（Ⅱ）（ⅰ）总体数据的期望约为：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170（cm）
标准差σ2=（145-170）2×0.03+（155-170）2×0.17+（165-170）2×0.3
+（175-170）2×0.3+（185-170）2×0.17+（195-170）2×0.03=129
∴σ=
129
=11.4
（ⅱ）由于μ=170，σ≈11.4
当身高x∈（158.6，181.4）时，即x∈（μ-σ，μ+σ）
故身高落∈（158.6，181.4）中的概率为0.6826．
故身高落∈（158.6，181.4）中的人数为683人．
（Ⅲ）（ⅰ）
身高达标 身高不达标 总计
积极参加体育锻炼 40 35 75
不积极参加体育锻炼 10 15 25
总计 50 50 100
（ⅱ）K2=
100(40×15-35×10)2
75×25×50×50
≈1.33
故有75%把握认为体育锻炼与身高达标有关系
点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
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（本小题满分分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学.
(Ⅰ)求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；
(Ⅱ) 测得该年级所抽查的100名同学身高(单位：厘米) 频率分布直方图如右图：
(ⅰ) 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值为165）作为代表．据此，计算这100名学生身高数据的期望及标准差(精确到0.1)；
(ⅱ) 若总体服从正态分布,以样本估计总体,据此,估计该年级身高在范围中的学生的人数．
(Ⅲ) 如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生,得到下列联表:
体育锻炼与身高达标2×2列联表

 
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
 
 
不积极参加体育锻炼
 
15
 
总计
 
 
100
(ⅰ)完成上表；
(ⅱ)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系?
参考公式:K=,参考数据:
P(Kk)
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

（本题12分）

某学校高三年级有学生1000名，经调查研究,其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按    A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165cm作为达标的标准,对抽取的100名学生,得到以下列联表:

体育锻炼与身高达标2×2列联表

 

身高达标

身高不达标

总计

积极参加

体育锻炼

40

 

 

不积极参加

体育锻炼

 

15

 

总计

 

 

100

（1）完成上表;

（2）请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0．01）?

参考公式:K2=,参考数据:

P（K2≥k0）

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

K0

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

 

 
某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学，
(Ⅰ)求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；
(Ⅱ)测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如下图：
(ⅰ)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160，170)的中点值为165）作为代表。据此，计算这100名学生身高数据的期望μ及标准差σ（精确到0.1）：
(ⅱ)若总体服从正态分布，以样本估计总体，据此，估计该年级身高在(158.6，181.4)范围中的学生的人数；
(Ⅲ)如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表
 
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
 
 
不积极参加体育锻炼
 
15
 
总计
 
 
100
(ⅰ)完成上表；
(ⅱ)请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？
参考公式：，
参考数据：

某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称

为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中抽查100名同学.

（Ⅰ）求抽取的100名同学中，有多少名A 类同学？

（Ⅱ）如果以身高达到170厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到2×2列联表如下：

体育锻炼与身高达标2×2列联表

身高达标

身高不达标

总计

积极参加体育锻炼

40

35

75

不积极参加体育锻炼

10

15

25

总计

50

50

100

请问是否有99%以上的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？.

参考公式:K=，

参考数据:

P(Kk)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

k

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

 

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