Question

设A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．

Answer 1

（1）＋＝1    （2）见解析

(1)依题意，得a＝2c，b²＝a²－c²＝3c²，
设椭圆方程为＋＝1，将(1，)代入，得c²＝1，故椭圆方程为＋＝1．
(2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，
设M(x₀，y₀)，则－2<x₀<2，y₀²＝ (4－x₀²)，由P，A，M三点共线，得x＝，＝(x₀－2，y₀)，＝(2，)，·＝2x₀－4＋＝ (2－x₀)>0，
即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．