Question

（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？

（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？

Answer 1

解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法

    所以不同的放法有=165种.

答：每盒至少有一个小球，有165种不同放法.

（2）因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型.将三块隔板与12个球分成一排，则如图000||00000|0000中隔板将这一排球放成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1,2，3，4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法.排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有个选法即排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有种，即球的放法有=455种.

答：允许空盒，有455种不同的放法.