Question

（2011•重庆一模）已知函数f（x）=x+1，设g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）．
（I）求g₂（x）、g₃（x）的表达式，并直接写出g_n（x）（n∈N^*）表达式；
（II）设S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x），若关于x的函数y=x²+S_n（x）（n∈N^*）在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表达式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表达式；
（2）根据（1）的结果代入求出y=x²+S_n（x），转化为二次函数利用配方法求最值，讨论对称轴是否在定义域内．

解答：解：（I）∵g₁（x）=f（x）=x+1，g_n（x）=f（g_n-1（x））
当n=2时，g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，（2分）
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
猜想g_n（x）=x+n（4分）
（II）∵g_n（x）=x+n，
∴S_n（x）=g₁（x）+g₂（x）+g₃（x）+…+g_n（x）=nx+

n(n+1)

2

（6分）
∴y=x²+s_n（x）=x2+nx+

n(n+1)

2

（8分）
1°当-

n

2

≥-1，即n≤2时，函数y=(x+

n

2

)2+

n2+2n

4

在区间（-∞，-1]上是减函数
∴当x=-1时，ymin=

n2-n+2

2

=6，即n²-n-10=0，该方程没有整数解（10分）
2°当-

n

2

＜-1，即n＞2时，ymin=

n2+2n

4

=6，解得n=4，
综上所述，n=4（12分）

点评：此题考查代入法求函数的解析式、归纳法、和二次函数求最值的配方法等基本方法，体现了分类讨论的思想．很好的考查了学生的阅读能力和灵活应用知识分析解决问题的能力