Question

（2012•西城区一模）已知函数f(x)=

x 1 2 ，     0≤x≤c x2+x，  -2≤x＜0

其中c＞0．那么f（x）的零点是

-1和0

；若f（x）的值域是[-

1

4

，2]，则c的取值范围是

0＜c≤4

．

Answer 1

分析：分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f（x）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f（x）的值域恰好是[-

1

4

，2]，所以当0≤x≤c时，f（x）=x

1

2

的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．

解答：解：当x≥0时，令x

1

2

=0，得x=0；当x＜0时，令x²+x=0，得x=-1（舍零）
∴f（x）的零点是-1和0
∵函数y=x²+x在区间[-2，-

1

2

）上是减函数，在区间（-

1

2

，0）上是增函数
∴当x∈[-2，0）时，函数f（x）最小值为f（-

1

2

）=-

1

4

，最大值是f（-2）=2
∵当0≤x≤c时，f（x）=x

1

2

是增函数且值域为[0，

c

]
∴当f（x）的值域是[-

1

4

，2]，

c

≤2，即0＜c≤4
故答案为：-1和0      0＜c≤4

点评：本题给出特殊分段函数，求函数的零点并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数零点的、函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于基础题．