Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，a_n+b_n=1，bn+1=

bn

1- a 2 n

．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=

an- a 2 n

2n(1-2an)(1-3an)

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b1=

3

4

，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_n+b_n=1，知bn+1=

bn

1- a 2 n

=

1

1+an

=

1

2-bn

，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=1-bn=

1

n+3

，知cn=

an- a 2 n

2n(1-2an)(1-3an)

=

1

n•2n-1

-

1

(n+1)•2n

，由此能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵b1=

3

4

，bn+1=

bn

1- a 2 n

，a_n+b_n=1，
∴bn+1=

bn

1- a 2 n

=

1

1+an

=

1

2-bn

，
∴bn+1-1=

1

2-bn

-1=

bn-1

2-bn

，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=

1

bn-1

-1，
∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1，
∴

1

bn-1

=

1

b1-1

+(-1)×(n-1)=-4-n+1=-n-3，
∴bn-1=-

1

n+3

⇒bn=

n+2

n+3

．
（Ⅱ）∵an=1-bn=

1

n+3

，
∴cn=

an- a 2 n

2n(1-2an)(1-3an)

=

1 an -1

2n( 1 an -2)( 1 an -3)

=

n+2

n(n+1)•2n

=

1

n•2n-1

-

1

(n+1)•2n

，
∴Sn=c1+c2+…+cn=1-

1

2×21

+

1

2×21

-

1

3×22

+

1

3×22

-

1

4×23

+…+

1

n•2n-1

-

1

(n+1)•2n

=1-

1

(n+1)•2n

．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的递推公式的求法．