题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率 $数学公式$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）圆x²+y²=1的一条切线l与椭圆C相交于A，B两点，问是否存在上述直线l使 $数学公式$ 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a= $\text{[math]}$ b①．
由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $\text{[math]}$ ，可知2ab=4 $\text{[math]}$ ②．
①②可得a=2，b= $\text{[math]}$ ．
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1
当方程为x=1时，直线l与椭圆的交点为A（1， $\text{[math]}$ ），B（1，- $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$
同理方程为x=1时， $\text{[math]}$ 也不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，
直线方程代入椭圆方程，消去y，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0
综上所述，直线l不存在．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，得a²=4c²，再由c²=a²-b²，解得a= $\text{[math]}$ b，利用连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 $\text{[math]}$ ，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1，可得 $\text{[math]}$ 不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m²=1+k²，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，属于中档题．