Question

（本小题满分13分）

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线与轴相交于定点．

 

 

Answer 1

（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意知，

所以，即．

又因为，

所以，．

故椭圆的方程为．…………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由  得．    ①…………6分

由，

得，又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．………………8分

（Ⅲ）设点，，则．

直线的方程为．

令，得．…………………………………………10分

将，代入，

整理，得．                   ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直线与轴相交于定点．……………………………………13分