Question

函数f(x)=

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x3+x-sinx的定义域为R，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁₀₀₇=-1，m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃），则（　　）

A．m恒为负数

B．m恒为正数

C．当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数

D．当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数

Answer 1

分析：由函数的解析式可得f（x）是奇函数，由它的导数f′（x）≥0，可得函数f（x）在R上是增函数．分d＞0和d＜0以及d=0三种情况，分别利用函数的奇偶性和单调性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…，从而得到 m＜0，从而得出结论．

解答：解：∵函数f(x)=

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x3+x-sinx的定义域为R，是奇函数，且它的导数f′（x）=x²+1-cosx≥0，
故函数f（x）在R上是增函数．
数列{a_n}是公差为d的等差数列，a₁₀₀₇=-1，当d＞0时，数列为递增数列，由a₁+a₂₀₁₃=a₁₀₀₇=-1＜0，
可得 a₂₀₁₃＜-a₁，∴f（a₂₀₁₃）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₃）+f（a₂）+f（a₂₀₁₂）+f（a₃）+f（a₂₀₁₁）+…+f（a₁₀₀₇）＜0．
当d＜0时，数列为递减数列，同理求得 m＜0．
当d=0时，该数列为常数数列，每一项都等于-1，故有f（a_n）=f（-1）=-

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-1-sin（-1）=sin1-

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＜0，
故m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，
故选A．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，等差数列的性质，属于中档题．