Question

(本小题满分12分)对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。（1）求闭函数符合条件②的区间[]；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1） [-1，1]   

（2）函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）。

【解析】本题主要考查通过给定的新定义来解题．这种题重要考查学生的接受新内容的能力

（1）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，则得到a,b的关系式，进而求解得到a,b的值。

（2）取x₁=1，x₂=10，则f(x₁)==f(x₂)，取x₁=, x₂=, f(x₁)=f(x₂)，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数．所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数．即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．

(3)根据是闭函数，得到a,b的关系式，结合韦达定理得到结论。

解：（1）由题意，在[]上递减，则解得所以，所求的区间为[-1，1]   

（2）取则，即不是上的减函数。

取，即不是上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根。当时，有，解得。当时，有，无解。

综上所述，。----------13分