Question

已知两定点F₁（-，0），F₂（，0）满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线的定义，求得曲线E的方程，与直线方程联立，消去y，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，结合韦达定理，可求k的取值范围；
（2）先表示出|AB|，利用，求出直线AB的方程，即可求△AOB的面积．
解答：解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-，0），F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，所以b=1，故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），由题意建立方程组
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有
解得-＜k＜-1．
（2）∵|AB|==
==2
依题意得2，整理后得28k⁴-55k²+25=0．
∴或
但-＜k＜-1，∴k=-．
故直线AB的方程为
∴S_△AOB=×
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长计算，考查三角形的面积，正确运用韦达定理是关键．