Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知数列{a_n}的前n项和S_n可以根据公式a_n=S_n-S_n-1求出数列的通项公式，注意要验证n=1的情况；
（2）把a_n代入c_n=n•a_n，再利用错位相减法，求出数列{c_n}的前n项和T_n，然后就很容易证明了；
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=a₁，a₁=，
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（a_n）-（a_n-1）=a_n-1-a_n，
即a_n=a_n-1，
又a₁=≠0，所以数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列，
∴a_n==（n∈N₊）
（2）由（1）可知C_n=n，
所以T_n=1×+2×+…+（n-1）•+n，①
3T_n=1×+2×+3×+…+n•②，
②-①可得2T_n=1×-n•+1×+1×+…++，
2T_n=1-n+=1-+-，
∴T_n=-＜
点评：此题主要考查数列与不等式的综合，解题过程中用到了错位相减法，这也是高考常用的方法，是一道中档题，本题计算量有些大，考查学生的细心程度；