Question

某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（1）若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
    ①纯利润总和最大时，以10万元出售；
    ②该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼；
    问哪种方案更优？

Answer 1

分析：（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共 n+

n(n-1)

2

×2=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n-（81+n²），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．
（2）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个．

解答：解：（1）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，
2为公差的等差数列，共 n+

n(n-1)

2

×2=n2
因此利润y=30n-（81+n²），令y＞0
解得：3＜n＜27，
所以从第4年开始获取纯利润．
（2）纯利润y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144
所以15年后共获利润：144+10=154（万元）
年平均利润W=

30n-(81+n2)

n

=30-

81

n

-n≤30-2

81

=12
（当且仅当

81

n

=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）
两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②

点评：本题考查数列的性质和应用，同时考查了利基本不等式求函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答．