Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（Ⅰ） 若|AB|=

16

3

，求直线l的方程．
（Ⅱ） 求|AB|的最小值．

Answer 1

分析：法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韦达定理和抛物线的定义，能够求出直线l的方程．
（2）由（1）知，|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．
法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|=

2P

sin2θ

（θ为AB的倾斜角），知sinθ=±

3

2

，由此能求出直线方程．
（2）由（1）知|AB|=

2P

sin2θ

=

4

sin2θ

，由此能求出|AB|的最小值．

解答：解法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y₁+y₂=-4m
根据抛物线的定义知：
|AB|=x₁+x₂+2=(1-my1)+(1-my2)+2=4(m2+1)
若|AB|=

16

3

，则4(m2+1)=

16

3

，m=±

3

3

即直线l有两条，其方程分别为：x+

3

3

y-1=0，x-

3

3

y-1=0
（2）由（1）知，|AB|=4（m²+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．
解法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|=

2P

sin2θ

（θ为AB的倾斜角），
知sinθ=±

3

2

，
即直线AB的斜率k=tanθ=±

3

，
故所求直线方程为：x+

3

3

y-1=0或x-

3

3

y-1=0．
（2）由（1）知|AB|=

2P

sin2θ

=

4

sin2θ

，
∴|AB|_min=4 （此时sinθ=1，θ=90°）
故|AB|有最小值4．

点评：本题考查直线方程的求法，考查弦的最小值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线简单性质、韦达定理、均值不等式等知识点的灵活运用．