Question

已知，当x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1时，总有．
（1）求m的值；
（2）设数列{a_n}满足，求{a_n}的通项公式；
（3）对?n∈N^*，恒成立，求k的取值范围（其中k＞0且k≠1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依据题意，取得，由此能求出m的值．
（2），，由此能够求出．
（3）由得，由此能够求出实数k的取值范围．
解答：解：（1）依题意，取，
得，
即，
所以m=2．
当m=2时，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有=，
所以m=2．
（2），

两式相加，并由已知得，
所以．
（3）由，
得，
?n∈N*，，
等号当且仅当n=1时成立，
所以k的取值范围是．
点评：本题考查数列与不等式的综合，其中：（1）是恒等、定值问题；（2）是根据（1）用倒序相加求数列通项；（3）是分离变量并求它的取值范围．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．