题目内容

某酒店根据以往数据统计发现，在预订了客房的客人中，会有
1
3
的人不来入住，所以酒店经常采用超额预订的方式，即预计出去的客房数超出可用客房数，由于超额预订酒店会面临的损失包括：若客人未能如约入住而产生一间空房的话，会造成50元的损失；而已经预订房间的客人由于超额预订而不能得到房间时，酒店会损失100元（将客人安排到其他酒店的费用），现将3间客房预订给5位客人，设每位预订客房的客人出现与否是相互独立的随机事件．
（Ⅰ）求5人中恰有2人不出现的概率；
（Ⅱ）求客人来没有客房住的情况发生的概率；
（Ⅲ）设ξ为酒店的损失，求ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知得预订客房的5位客人中不出现的人数X～B（5，
1
3
），由此能求出5人中恰有2人不出现的概率．
（Ⅱ）客人来没有客房住的情况有两种：X=0和X=1，由此能求出客人来没有客房住的情况的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，50，100，150，200，对应的X值分别为2，3，1或4，5，0，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）由已知得预订客房的5位客人中不出现的人数X～B（5，
1
3
），
∴5人中恰有2人不出现的概率：
P1=
C
2
5
(
1
3
)2(1-
1
3
)3=
80
243
．
（Ⅱ）客人来没有客房住的情况有两种：X=0和X=1，
∴客人来没有客房住的情况的概率：
P2=P（X=0）+P（X=1）
=
C
0
5
(1-
1
3
)5+
C
1
5
(
1
3
)(1-
1
3
)4=
112
80
．
ξ的可能取值为0，50，100，150，200，
∴P（ξ=0）=P（X=2）=
C
2
5
(
1
3
)2(1-
1
3
)3=
80
243
，
P（ξ=50）=P（X=3）=
C
3
5
(
1
3
)3(1-
1
3
)2=
40
243
，
P（ξ=100）=P（X=1）+P（X=4）=
C
1
5
(
1
3
)(1-
1
3
)4+
C
4
5
(
1
3
)4(1-
1
3
)=
90
243
，
P（ξ=150）=P（X=5）=
C
5
5
(
1
3
)5=
1
243
，
P（ξ=200）=P（X=0）=
C
0
5
（1-
1
3
）5=
32
243
，
ξ的分布列为：
 ξ 0 50 100 150 200
 P 
80
243
 
40
243
 
90
243
 
1
243
 
32
243
∴Eξ=0×
80
243
+50×
40
243
+100×
90
243
+150×
1
243
+200×
32
243
=72.2．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
以下有五个命题：
①若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
与
c
可能不平行；
②α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
③直线x=
π
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点；
⑤对于y=3sin（2x+
π
4
），若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2是π的整数倍．
其中正确命题的序号是
 
．
已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x-a）2+（y-b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（　　）
A、4B、6C、8D、12
若做变速直线运动的物体v（t）=t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为
 
．
设随机变量ξ的分布列为P（ξ=i）=a（
1
3
）i，i=1，2，3，则实数a的值为（　　）
A、1
B、
9
13
C、
11
13
D、
27
13
已知向量
a
与
b
的夹角为60°，|
a
|=3，|
b
|=2，
c
=3
a
+5
b
，
d
=m
a
-
b
，
c
⊥
d
，求m的值．
已知平面向量
a
与
b
的夹角为
π
3
，且|
b
|=1，|
a
+2
b
|=2
3
，则|
a
|=（　　）
A、1
B、
3
C、2
D、3
设直线l1：x+3y+1=0，l2：x-y-7=0的交点为点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点P且与l1垂直的直线l的方程．
已知sinα=m，α∈（
π
2
，π），tan（π-β）=n（0＜n＜1），则tan（α-2β）=
 
．

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