Question

（1）数列{a_n}中，a1=1，an+1=an+2n，求通项公式a_n．
（2）数列{a_n}中，a1=4，an+1=

n+2

n

an，求通项公式a_n?

Answer 1

分析：（1）将an+1=an+2n移向得出an+1-an=2n，用累加法求通项公式．
（2）将an+1=

n+2

n

an，变形

an+1

an

=

n+2

n

，用累乘法求通项公式．

解答：解：（1）将an+1=an+2n移向得出an+1-an=2n，
当n≥2时，a_n=（an-an-1  ）+（an-1-an-2  ）+…+（a2-a1  ）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1，当n=1时，也适合．
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由于an+1=

n+2

n

an，即

an+1

an

=

n+2

n

，
当n≥2时，a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=

n+1

n-1

•

n

n-2

•…•

4

2

•

3

1

•4
=

(n+1)•n

2

×4
=2n²+2n，当n=1时，也适合．
∴a_n=2n²+2n．

点评：本题考查了数列递推公式，累加法求通项公式．形如a_n-a_n-1=f（n）且f（n）能求和，均可以用累加法求通项公式．累乘法求通项公式，形如a_n-a_n-1=f（n）a_n-1且f（n）能求积，均可以用累乘法求通项公式．