Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}中，a₁=a，

an+1

an

=a（n∈N^*），令b_n=a_nlog₂a_n
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若0＜a＜1，b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据{a_n}是首项为a₁，公比为a的等比数列，可得{a_n}的通项，进而可得数列{b_n}的通项，利用错位相减法可求前n项和S_n；
（2）利用数列{b_n}的通项，b_n+1＞b_n，可得(n+1)an+1log2a＞nanlog2a，再根据0＜a＜1，利用分离参数法，即可确定a的取值范围．

解答：解：因为{a_n}是首项为a₁，公比为a的等比数列，所以a_n=aⁿ
所以，b_n=a_nlog₂a_n=aⁿlog₂a_n=naⁿlog₂a                   （2分）
（1）若a=2时，b_n=n2ⁿlog₂2=n2ⁿ
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①化简可得S_n=-2-（n-1）2ⁿ⁺¹=2+（n-1）2ⁿ⁺¹                          （7分）
（2）因为b_n+1＞b_n，所以(n+1)an+1log2a＞nanlog2a
当0＜a＜1时，log₂a＜0，所以（n+1）a＜n，即a＜

n

n+1

因为

n

n+1

=1-

1

n+1

≤

1

2

所以0＜a＜

1

2

（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查错位相减法求数列的函数，考查不等式问题，确定数列的通项是关键．